Thoughts on Advanced Mathematics (1)

学得越多,便更能理解更深层的含义。原来事先看似独立的数学公式间都存在着关联。

今天也是偶尔发现的,导数的定义竟然也可以看做是拉格朗日中值定理的特殊情况,或者说拉格朗日中值定理是导数定义的扩展。

由导数的定义可知,f’(x)=lim┬(xΔx)⁡[(f(x+Δx)-f(x))/Δx],拉格朗日中值定理的公式可以写成f(a)-f(b)= f’(ξ)(a-b)的形式。当我们把区间取为[x, x+Δx]时,拉格朗日中值定理也就变成了f(x+Δx)-f(x) = Δx·f’(x0),其中x0∊(x, x+Δx)。但在导数定义里,x是趋近于Δx的,或者说Δx是趋近于0的,此时x0可以看做与xx+Δx相等,或x0=x+x0=(x+Δx)。当然x0还是在xx+Δx之间的。如果我们扩大这个区间范围,令x=ax+Δx=b,这时这个公式就成了拉格朗日中值定理的形式了。

还有积分中值定理和拉格朗日中值定理,这二者也是几乎相同的。由拉格朗日中值定理可知,f(x)在[a,b]上是可导的,且闭区间连续,有界,因此f’(x)存在,且f(x)的定积分存在。如果我们把f(a)-f(b)写成∫a^b[f’(x)]的形式,则可以认为这两个定理是相等的。

此外,昨天还听了一个观点,即从柯西中值定理到拉格朗日中值定理再到罗尔定理,这是一层层的特殊化。拉格朗日中值定理是柯西中值定理中当g(x)=x的情况,罗尔定理是拉格朗日中值定理中f(a)=f(b)的情况。现在想想确实是这样的。学习时我们是从最特殊的情况——罗尔定理开始的,随后随着深入,我们可以渐渐了解特殊情况了,于是接触了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。还有导数微分与积分一样,都是这种关系。同时数学还有一个连贯性,可能前面一个不起眼的知识,或者自己总结的一条小规律,在后面就能让你恍然大悟。总结与练习,还有联系,这大概是学习数学的必备吧。

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