级数敛散性判别法

对于正项级数,首先判断limn->∞un是否为0,若不为0,则级数发散。

对于级数Σun而言,级数收敛=>limn->∞un=0,而limn->∞un=0则不一定级数收敛。故limn->∞un=0只是级数收敛的必要条件而不是充分条件。

当limn->∞un不为0时,可以采用比值判别法或根值判别法。令ρ=un+1/un或ρ=n√(un),当ρ>1或ρ=+∞时,级数发散;当ρ<1时,级数收敛;当ρ=1时,此判别法失效,需采用其它方法。

其它方法有比较法、P级数法等。一般地,若有两级数Σvn和Σun满足vn>un,则当Σvn收敛时,Σun也收敛;当Σun发散时,Σvn也发散,即“大收小收,小发大发”。此外,∃N,当n>N时满足:若Σvn收敛,∃k,un≤kvn,则Σun收敛;若Σvn发散,∃k,kvn≤un,则Σun发散。

比较法也可以写成极限形式。令l=limn->∞(un/vn),则当0<l<+∞时,二者同收同发;当l=0时,若Σvn收敛,则Σun收敛;当l=+∞时,若Σvn发散,则Σun发散。这时可以将其看作是无穷小来对待,通过无穷小的比阶来判断un和vn的大小,进而判断敛散性。

P级数的形式为Σ(1/np),当p≤1时,级数发散;当p>1时,级数收敛。由上可知,级数乘以一个数,不影响其敛散性,所以P级数在使用时有一些变形,这里不再一一阐述。当p=1时的P级数又成为调和级数,是发散的,但级数Σ(-1)n-1(1/np)是收敛的。

对于交错级数,我们可以使用莱布尼茨判别法。当级数Σ(-1)n-1un满足limn->∞(un=0且un>un+1,则此交错级数收敛。判断条件2时可以采用二者相减、相除等方法,与0或1相比判断大小,也可将此级数抽象为函数f(x),当x>N时满足f(x)单调递减即可。

对于一般项级数Σun,我们也是先看当n趋向于∞时un的极限是否为0,若不为0,则级数发散。

若极限为0,则判别Σ|un|是否收敛。这时可以使用正项级数敛散性判别法进行判断。如果级数收敛,则Σun绝对收敛;如果级数发散,而Σun条件收敛。一般而言,如果级数Σ|un|发散,我们不能断定Σun也发散。但是,如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据limn→∞|un+1/un|=ρ>1或limn→∞n√|un|=ρ>1判定Σ|un|发散,则我们可以断定Σun必定发散。这是因为从ρ>1可推知|un|在n→∞时不为0,从而un在n→∞时不为0,因此级数Σun是发散的。

各项都是幂函数的函数项级数称为幂级数。Σanxn中an是幂级数的系数。当x取不同的值时幂级数具有不同的敛散性。由阿贝尔(Abel)定理可知,如果级数Σanxn当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式|x|<|x0|的一切x使幂级数绝对收敛。反之,如果技术Σanxn当x=x0时发散,则适合不等式|x|>|x0|的一切x使幂级数发散。由此我们可得,如果幂级数Σanxn不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得当|x|<R时,幂级数绝对收敛;当|x|>R时,幂级数发散;当x=R或x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散。这个R称为幂级数的收敛半径,(-R, R)称为级数的收敛区间,再由x=±R时级数的敛散性确定收敛区间的开闭,进而得到收敛域。关于收敛半径的求法,令limn→∞|an+1/an|=ρ,则收敛半径R=1/ρ。在得到收敛半径后,我们可以求幂级数在收敛域内的和函数,在此不再累述。

我们知道,任何一个函数都能写成由若干个幂函数相加的形式。关于函数展开为幂级数,我们可以根据常用幂级数展开式,将待展开函数利用恒等变形,化为对应的形式,然后套用公式即可。

总结一下,这两天我们相继探讨了正项级数、交错级数、一般项级数和幂级数的敛散性判别,探讨了一些级数敛散性常用的判别方法,如比较判别法、比值判别法、根值判别法等,了解了莱布尼茨判别法和阿贝尔定理,对幂级数的收敛半径、收敛域与和函数也进行了讨论。关于幂级数的习题,尤其是敛散性判别、和函数求解方面的问题,可以十分灵活,需要我们结合极限思想、求极限的方法、积分、求导等知识,甚至从极限的定义出发进行推导。这部分知识点错综复杂,还需要勤思考多练习,小心入坑为妙。

(由于本网站问题,本文首先发表于渣鸟安全网站http://www.blovb.com/),分两次更新,分别为《级数敛散性判别法(一)》《级数敛散性判别法(二)》,这次网站更新完成后,将两篇文章进行合并,重发于此。)

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